a: Xét ΔABC có 

M là trung điểm của AB

N là trung điểm của BC

Do đó: MN là đường trung bình của ΔABC

Suy ra: MN//AC và MN=AC/2(1)

Xét ΔADC có 

Q là trung điểm của AD

P là trung điểm của CD

Do đó: QP là đường trung bình của ΔADC

Suy ra: QP//AC và QP=AC/2(2)

Từ (1) và (2) suy ra MN//PQ và MN=PQ

hay MNPQ là hình bình hành

a: Xét ΔBAC có BM/BA=BN/BC=1/2

nên MN//AC và MN=1/2AC

Xét ΔDAC có DQ/DA=DP/DC

nên PQ//AC và PQ=1/2AC

=>MN//PQ và MN=PQ

b: Xét tứ giác MNPQ có

MN//PQ

MN=PQ

=>MNPQ là hình bình hành

a) Ta có:-

- M là trung điểm của AB

⇒  AM = MB.

- N là trung điểm của BC

⇒ BN = NC.

- P là trung điểm của CD

⇒ CP = PD.

- Q là trung điểm của DA

⇒ DQ = QA.

Do đó, ta có: AM = MB = BN = NC = CP = PD = DQ = QA.

⇒ tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Có:

- I là trung điểm của AC

⇒AI = IC.

- K là trung điểm của BD

⇒ BK = KD.

Do đó, ta có: AI = IC = BK = KD.

⇒ tứ giác INKQ là hình bình hành.

b)Gọi O là giao điểm của MP và NQ ta có:

MP // AB và NQ//CD ( M và N là trung điểm của AB và CD).

⇒ MP song song với NQ.

do đó :O nằm trên MP và NQ.

  Gọi H là giao điểm của MI và NK ta có:

MI // AC và NK // BD (do I và K là trung điểm của đường chéo AC và BD). 

⇒ MI song song với NK.

  Do đó: H nằm trên cả MI và NK.

  Gọi G là giao điểm của OH và BD ta có:

OH //MP và BD // MP (do O nằm trên MP và NQ, và H nằm trên  MI và NK). 

⇒ OH song song với BD.

doo đó: G nằm trên OH và BD.

⇒ I, O, K thẳng hàng.(ĐPCM)

a: Xét ΔBAC có BM/BA=BN/BC=1/2

nên MN//AC và MN=1/2AC

Xét ΔDAC có DQ/DA=DP/DC

nên PQ//AC và PQ/AC=DQ/DA=1/2

=>PQ=1/2AC

=>MN//PQ và MN=PQ

=>MNPQ là hình bình hành

Xét ΔCAB có CI/CA=CN/CB=1/2

nên IN//AB và IN=1/2AB

Xét ΔDAB có DQ/DA=DK/DB=1/2

nên QK//AB và QK=1/2AB

=>IN//QK và IN=QK

=>INKQ là hình bình hành

b: MNPQ là hình bình hành

=>MP cắt NQ tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm của NQ

INKQ là hbh

=>IK cắt NQ tại trung điểm của mỗi đường

=>I,O,K thẳng hàng

a: Xét ΔABC có BM/BA=BN/BC

nên MN//AC và MN=AC/2

Xét ΔCDA có DP/DC=DQ/DA

nên PQ//CA và PQ=AC/2

=>MN//PQ và MN=PQ

b: Xét tứ giác MNPQ có

MN//PQ

MN=PQ

=>MNPQ là hình bình hành

a: Xét tứ giác AMCN có

AM//CN

AM=CN

Do đó: AMCN là hình bình hành

b: ABCDlà hình bình hành

nên AC cắt BD tại trung điểm của mỗi đường

=>O là trung điểm của AC

AMCN là hình bình hành

nên AC cắt MN tại trung điểm của mỗi đường

=>M đối xứng N qua O

a: XétΔBAC có

M,N lần lượt là trung điểm của BA,BC

=>MN là đường trung bình của ΔBAC
=>MN//AC và MN=AC/2(1)

Xét ΔDAC có

P,Q lần lượt là trung điểm của DC,DA

=>PQ là đường trung bình của ΔDAC

=>PQ//AC và PQ=AC/2(2)

Từ (1),(2) suy ra MN//PQ và MN=PQ

Xét tứ giác MNPQ có

MN//PQ

MN=PQ

Do đó: MNPQ là hình bình hành

b: Xét ΔACD có

P,I lần lượt là trung điểm của CD,CA

=>PI là đường trung bình của ΔACD

=>PI//AD và \(PI=\dfrac{AD}{2}\left(3\right)\)

Xét ΔBAD có

M,K lần lượt là trung điểm của BA,BD

=>MK là đường trung bình của ΔBAD

=>MK//AD và \(MK=\dfrac{AD}{2}\left(4\right)\)

Từ (3) và (4) suy ra MK//IP và MK=IP

Xét tứ giác MKPI có

MK//PI

MK=PI

Do đó: MKPI là hình bình hành

=>MP cắt KI tại trung điểm của mỗi đường(5)

Ta có: MNPQ là hình bình hành

=>MP cắt NQ tại trung điểm của mỗi đường(6)

Từ (5),(6) suy ra MP,KI,NQ đồng quy